Jako się rzekło, modalności takie jak możliwość, konieczność, czas, wiedza czy dowodliwość nie będą nas w tej książce interesować, lecz nie znaczy to, że nie będą interesować nas modalności w ogóle. W niniejszym podrozdziale spojrzymy jeszcze raz na rzeczy, które już znamy, a których nawet nie podejrzewamy o bycie modalnościami. Zanim to jednak nastąpi, zobaczmy pół-formalną definicję modalności: M jest modalnością, gdy:

• M : Prop -> Prop, czyli M przekształca zdania w zdania
• forall P Q : Prop, (P -> Q) -> (M P -> M Q)
• forall P : Prop, P -> M P
• forall P : Prop, M (M P) -> M P

Cóż to wszystko oznacza? Jeżeli P jest zdaniem, to M P również jest zdaniem, które możemy rozumieć jako "P zachodzi w sposób M". Dla przykładu, jeżeli P znaczy "pada deszcz", a M wyraża możliwość, to wtedy M P znaczy "być może pada deszcz". Pierwsze prawo mówi, że modalność jest kompatybilna z konsekwencjami danego zdania. Niech Q znaczy "jest mokro". Wtedy P -> Q znaczy "jeżeli pada deszcz, to jest mokro". Kompatybilność znaczy, że możemy stąd wywnioskować M P -> M Q, czyli "jeżeli być może pada deszcz, to być może jest mokro". Drugie prawo mówi, że jeżeli zdanie P po prostu zachodzi, to zachodzi też w sposób M: "jeżeli pada deszcz, to być może pada deszcz". Można to interpretować tak, że modalność modyfikuje znaczenie danego zdania, ale nie wywraca go do góry nogami. Dla przykładu modalnością NIE JEST negacja, gdyż nie spełnia ona tego warunku. Poetycko można by powiedzieć, że zaprzeczenie nie jest sposobem twierdzenia, a nieistnienie nie jest sposobem istnienia. Trzecie prawo mówi, że potworki w rodzaju "może może może może pada deszcz" znaczą to samo, co "może pada deszcz" (ale już niekoniecznie to samo, co po prostu "pada deszcz"). Jest to dość rozsądne, gdyż w językach naturalnych zazwyczaj tak nie mówimy. A jeżeli już mówimy, np. "bardzo bardzo boli mnie dupa" - to znaczy, że słowo "bardzo" w tym wypadku nie wyraża sposobu bolenia dupy, lecz raczej stopień/intensywność bólu, a zatem "bardzo" NIE JEST modalnością. Zanim zobaczymy, jak ta definicja ma się do tego, co już wiemy i potrafimy, ćwiczenie:

Ćwiczenie

Zaczniemy od antyprzykładu. Udowodnij, że negacja nie jest modalnością. Parafrazując:

• napisz, jak wyglądałyby prawa bycia modalnością dla negacji
• zdecyduj, które z praw negacja łamie, a których nie
• udowodnij, że prawa te faktycznie nie zachodzą

Modalność neutralna: nasza ulubiona

Jako już się rzekło w jednym z przykładów, zdanie "Pada deszcz" również jest zdaniem modalnym. Modalność występująca w tym zdaniu to modalność neutralna (zwana też modalnością identycznościową), a wyrażany przez nią sposób to sposób zwykły, domyślny, neutralny, czyli w sumie żaden. Modalność ta nie ma raczej większego znaczenia (oczywiście o ile przemilczymy fakt, że większość wszystkich zdań, jakie napotkamy, będzie wyrażać właśnie tę modalność), ale warto ją odnotować dla kompletności teorii - zwykli śmiertelnicy zazwyczaj zapominają o takich banalnych rzeczach, więc trzeba im o tym przypominać. Nie wspominając już o tym, że jest to idealna modalność na rozgrzewkę ...

Ćwiczenie

Pokaż, że modalność neutralna faktycznie jest modalnością.

Modalność trywialna: meh...

Jest taka jedna modalność, o której aż wstyd wspominać, a którą na nasze potrzeby nazwiemy modalnością trywialną. Polega ona na tym, że chcąc w trywialny sposób powiedzieć P, wypieprzamy zdanie P w diabły i zamiast tego mówimy True. Wot, modalność jak znalazł.

Ćwiczenie

Pokaż, że modalność trywialna faktycznie jest modalnością.

Ćwiczenie

Skoro True to modalność trywialna, to może False to modalność antytrywialna? Albo nietrywialna... albo jakaś inna, nieważne jak nazwana? Sprawdź to! Jeżeli jest to modalność, udowodnij odpowiednie prawa. Jeżeli nie, udowodnij zaprzeczenia odopwiednich praw. A może sytuacja jest patowa i nie da się udowodnić ani w jedną, ani w drugą stronę?

Modalność wymówkowa: pies zjadł mi dowód... :(

To już ostatnia głupia i bezużyteczna modalność, obiecuję! Wszystkie następne będą już praktyczne i przydatne. Wyobraźmy sobie następujący dialog, odbywający się na lekcji dowodzenia w Coqu w jakiejś zapomnianej przez Boga szkole w Pcimiu Dolnym:

• (N)auczycielka: Jasiu, zrobiłeś zadanie domowe?
• (J)asiu: Tak, psze pani.
• N: Pokaż.
• J: Hmmm, yhm, uhm, eeee...
• N: Czyli nie zrobiłeś.
• J: Zrobiłem, ale pies mi zjadł.

Z dialogu jasno wynika, że Jasiu nie zrobił zadania, co jednak nie przeszkadza mu w pokrętny sposób twierdzić, że zrobił. Ten pokrętny sposób jest powszechnie znany jako "wymówka". Słowem kluczowym jest tutaj słowo "sposób", które już na pierwszy rzut oka pachnie modalnością. Coś jest na rzeczy, wszakże podanie wymówki jest całkiem sprytnym sposobem na uzasadnienie każdego zdania:

• Prawdziwy wyznawca: Mam dowód fałszu!
• Sceptyk: Pokaż.
• Prawdziwy wyznawca: Sorry, pies mi zjadł.

Musimy pamiętać tylko o dwóch ważnych szczegółach całego procederu. Po pierwsze, nasza wymówka musi być uniwersalna, czyli musimy się jej trzymać jak rzep psiego ogona - nie możemy w trakcie rozumowania zmienić wymówki, bo rozumowanie może się zawalić. Drugi, nieco bardziej subtelny detal jest taki, że nie mamy tutaj do czynienia po prostu z "modalnością wymówkową". Zamiast tego, każdej jednej wymówce odpowiada osobna modalność. A zatem mamy modalność "Pies mi zjadł", ale także modalność "Nie mogę teraz dowodzić, bo państwo Izrael bezprawnie okupuje Palestynę"... i wiele innych. Jak można tę modalność zareprezentować formalnie w Coqu? Jeżeli E jest naszą wymówką, np. "Pies zjadł mi dowód", zaś P właściwym zdaniem, np. "Pada deszcz", to możemy połączyć je za pomocą dysjunkcji, otrzymując P \/ E, czyli "Pada deszcz lub pies zjadł mi dowód". Jednak ze względu na pewne głęboko zakorzenione tradycje kulturowe modalność tę będziemy reprezentować jako E \/ P, czyli "Pies zjadł mi dowód lub pada deszcz".

Ćwiczenie

Udowodnij, że dla każdej wymówki E faktycznie mamy do czynienia z modalnością.

Modalność klasyczna: logika klasyczna jako logika modalna

Poznana w poprzednim podrozdziale modalność mogła być dla ciebie dość zaskakująca, wszakże w języku naturalnym nieczęsto robienie wymówek jest wyrażane przez czasowniki modalne czy przysłówki. Co więcej, nie zobaczymy jej już nigdy więcej, bo jest mocno bezużyteczna. W niniejszym podrozdziale poznamy zaś modalność nawet bardziej zaskakującą, a do tego całkiem przydatną. Jest to modalność, którą można wyrazić za pomocą słowa "klasycznie". Wyrażenie "klasycznie P" znaczy, że P zachodzi w logice klasycznej, czyli zachodzi pod warunkiem, że mamy do dyspozycji poznane w poprzednich rozdziałach aksjomaty logiki klasycznej. Formalnie modalność tę możemy zrealizować za pomocą implikacji jako LEM -> P. Jest to bardzo wygodny sposób na posługiwanie się logiką klasyczną bez brudzenia sobie rączek komendami Axiom czy Hypothesis, a mimo to nie jest zbyt powszechnie znany czy używany. Cóż... ci głupcy nie wiedzą, co tracą.

Ćwiczenie

Udowodnij, że modalność klasyczna faktycznie jest modalnością.

Ćwiczenie

Dwie modalności zdefiniowane na różne (na pierwszym rzut oka) sposoby mogą mogą tak naprawdę wyrażać to samo. Dla przykładu, modalność "klasycznie P" możemy wyrazić nie tylko jako LEM -> P, ale również jako DNE -> P, Contra -> P i tak dalej - dowolny z poznanych przez nas dotychczas aksjomatów, które dają nam pełną moc logiki klasycznej, zadziała tutaj tak samo. Pokaż, że definicja korzystająca z LEM jest równoważna tej, w której występuje DNE.

Modalność aksjomatyczna

W poprzednim podrozdziale widzieliśmy, że użycie logiki klasycznej możemy wyrazić jako LEM -> P, DNE -> P czy nawet Contra -> P. A co z innymi aksjomatami, które dotychczas poznaliśmy? Czy ich użycie również możemy zareprezentować za pomocą jakiejś modalności? Ależ oczywiście, że tak. Skoro zamiast LEM -> P możemy napisać DNE -> P, to możemy również napisać UIP -> P, PropExt -> P czy po prostu A -> P dla dowolnego zdania A. Okazuje się więc, że modalność klasyczna jest jedynie wcieleniem pewnej ogólniejszej modalności, którą na nasze potrzeby nazwiemy modalnością aksjomatyczną. Zdanie A -> P możemy odczytać jako "P, pod warunkiem że A". Widać jak na dłoni, że jest to pewien sposób na wyrażenie P, a zatem pozostaje tylko sprawdzić, czy zachodzą wszystkie potrzebne prawa.

Ćwiczenie

Udowodnij, że modalność aksjomatyczna jest modalnością.

Wypadałoby jeszcze wyjaśnić, dlaczego modalność aksjomatyczną nazwałem właśnie "aksjomatyczną", a nie na przykład "warunkową", "założeniową" albo coś w tym stylu. Powód tego jest prosty: dawanie jako dodatkowej przesłanki zdania, które nie jest potrzebne w dowodzie, jest dość kretyńskie. Ba! Jeżeli potrafimy udowodnić A bez aksjomatów, to A -> P jest równoważne P.

Ćwiczenie

Sprawdź to!

Modalność niezaprzeczalna

Wiemy już, że negacja nie jest modalnością. Zaskoczy cię pewnie zatem fakt, że modalnością jest... podwójna negacja! Ha, nie spodziewałeś się podwójnej negacji w tym miejscu, co? Nie ma się czemu dziwić - w języku polskim podwójna negacja w stylu "nikt nic nie wie" wyraża tak naprawdę pojedynczą negację (choć nazwa "podwójna negacja" jest tu niezbyt trafna - bo słowo "nie" występuje tylko raz, a słowa takie jak "nikt" czy "nic" mają wprawdzie znaczenie negatywne, ale formą negacji nie są), w angielskim natomiast zdanie podwójnie zanegowane ("it's not uncommon") znaczy to samo, co zdanie oznajmiające bez żadnej negacji ("it's common"). Odstawmy jednak na bok języki naturalne i zastanówmy się, jakąż to modalność wyraża podwójna negacja w naszej Coqowej logice. W tym celu przyjrzyjmy się poniższym zdaniom:

• P - po prostu stwierdzamy P, modalność neutralna
• ~ P - zaprzeczamy/obalamy P. Można zatem powiedzieć, że P jest zaprzeczalne. Pamiętajmy jednak, że negacja nie jest modalnością.
• ~ ~ P - zaprzeczamy/obalamy ~ P, czyli zaprzeczamy zaprzeczeniu P. Można zatem powiedzieć, że P jest niezaprzeczalne.

I bum, dokonaliśmy naszego odkrycia: podwójna negacja wyraża bardzo subtelną modalność, jaką jest niezaprzeczalność. ~ ~ P możemy zatem odczytywać jako "niezaprzeczalnie P". Czym różni się samo "P" od "niezaprzeczalnie P"? Dla lepszego zrozumienia prześledźmy to na znanym nam już przykładzie, czyli aksjomacie wyłączonego środka. Weźmy dowolne zdanie P. Nie jesteśmy w stanie udowodnić P \/ ~ P, gdyż bez żadnej wiedzy o zdaniu P nie jesteśmy w stanie zdecydować czy iść w lewo, czy w prawo. Jeśli jednak jakiś cwaniak będzie chciał wcisnąć nam kit, że ~ (P \/ ~ P), to możemy wziąć jego dowód i wyprowadzić z niego False, czyli po prostu udowodnić, że ~ ~ (P \/ ~ P). Na tym właśnie polega modalność niezaprzeczalna: nawet jeżeli nie da się zdania pokazać wprost, to można obalić jego zaprzeczenie.

Ćwiczenie

Pokaż, że podwójna negacja jest modalnością.

Modalność pośrednia

Obawiam się, że być może obawiasz się, że tłumaczenia z poprzedniego podrozdziału niczego tak naprawdę nie tłumaczą. Przyjrzyjmy się więc modalności niezaprzeczalnej jeszcze raz, tym razem pod nieco innym kątem. Zacznijmy od zapisania zdania "niezaprzeczalnie P" nie jako ~ ~ P, lecz jako (P -> False) -> False. Jak możemy skonstruować dowód takiego zdania? Cóż, jeżeli ktoś pokaże nam, że P prowadzi do sprzeczności, to my musimy pokazać mu dowód fałszu. Najłatwiej mamy, gdy dysponujemy dowodem P - wtedy sprzeczność jest natychmiastowa. Jeżeli nie mamy dowodu P, musimy kombinować - jak pamiętamy, dla ~ ~ LEM kombinacje te polegały na tym, że najpierw idziemy w prawo, a potem w lewo. Te kombinacje są istotą spososbu wyrażanego przez modalność niezaprzeczalną. Zauważmy, że powyższe tłumaczenia nie mają tak naprawdę zbyt wiele wspólnego z False - gdyby zastąpić je dowolnym zdaniem C, efekt byłby bardzo podobny. Tadam! I tak właśnie na scenę wkracza modalność pośrednia - zastępując False przez jakieś wybrane C. Zdanie (P -> C) -> C możemy odczytywać jako "C zachodzi, o ile wynika z P". Podobnie jak dla ~ ~ P, najprościej udowodnić to zdanie, gdy mamy dowód P. Trudniej jest, gdy go nie mamy - wtedy musimy kombinować. Jak dokładnie przebiega kombinowanie zależy od zdań C i P. Zauważmy, że skoro każde C to inne kombinowanie, to każde C oznacza inny sposób, czyli inną modalność. Sytuacja jest podobna do tej z modalnością wymówkową czy modalnością aksjomatyczną - dla każdego zdania C mamy do czynienia z osobną modalnością. Na koniec pozostaje nam jeszcze zapytać: po cholerę nam w ogóle taka modalność? Specjalny przypadek modalności pośredniej, jakim jest modalność niezaprzeczalna, pozwala nam na jeszcze delikatniejsze i bardziej precyzyjne posługiwanie się logiką klasyczną: powiedzieć, że aksjomat wyłączonego środka klasycznie zachodzi, to nie powiedzieć nic, ale powiedzieć, że jest on niezaprzeczalny, to już nad wyraz głęboka mądrość. Niestety w ogólności (czyli dla C innych niż False) modalność pośrednia sama w sobie jest w praktyce raczej bezużyteczna. Czas poświęciliśmy jej zaś głównie z dwóch powodów:

• w bliższej perspektywie przyczyni się do lepszego zrozumienia podstawowych spójników logicznych
• w dalszej perspektywie przyzwyczai nas do różnych dziwnych rzeczy, takich jak kontynuacje, kodowanie Scotta czy lemat Yonedy (nie bój się tych nazw, one nie gryzą!)

Ćwiczenie

Udowodnij, że modalność pośrednia jest modalnością.

Modalność wszechpośrednia

Poznaliśmy dotychczas całkiem sporo modalności, w tym wszystkie przydatne w praktyce oraz kilka bezużytecznych, a także prawie wszystkie ważne. Zostało nam jeszcze trochę bezużytecznych, ale szkoda o nich gadać, więc zostały relegowane do ćwiczeń na końcu niniejszego podrozdziału. Podrozdziału, którego tematem jest modalność zupełnie bezużyteczna, ale bardzo ważna dla głębszego zrozumienia wielu rzeczy: modalności pośredniej, natury spójników logicznych, a nawet wiary w Boga tak jak ją rozumie pewien amerykański filozof polityczny, który, zupełnym przypadkiem, jest też programistą funkcyjnym. Zanim jednak ją zobaczymy, wróćmy do modalności pośredniej, której definicja wyglądała tak: (P -> C) -> C, co odczytać możemy jako "C zachodzi, o ile wynika z P" lub "pośrednio P" (jeśli C umiemy wywnioskować z kontekstu). W całej modalności chodzi zaś o to, żeby powiedzieć P, ale w zawoalowany sposób, wykorzystując do tego C, które wydaje nam się jakąś ważną konsekwencją P. Czas odpalić tryb dociekliwego matematyka i zacząć się zastanawiać. Na pierwszy ogień: jaki jest związek między (P -> C) -> C oraz (P -> D) -> D w zależności od związku między C i D? Pisząc po ludzku: czy jeśli powiemy P na dwa różne, zawoalowane sposoby, to mówimy to samo, czy coś innego?

Ćwiczenie

Na rozgrzewkę coś prostego: jeżeli C i D są równoważne, to wyrażają tę samą modalność pośrednią.

Ćwiczenie

Na drugi ogień zaś coś nieco trudniejszego: czy odwrotność powyższego zdania zachodzi? Wskazówka: jeżeli po dłuższym namyśle nie umiesz czegoś udowodnić, to szanse na to, że się nie da, są wprost proporcjonalne do twoich umiejętności w dowodzeniu.

Wniosek płynący z powyższych ćwiczeń jest prosty (zrobiłeś je, prawda? Jeśli nie - do ćwiczeń MARSZ!): równoważne konsekwencje dają równoważne modalności pośrednie, ale nawet jeżeli P zapośredniczone przez C i P zapośredniczone przez D są równoważne, to nie ma żadnego oczywistego sposobu na udowodnienie, że C i D są równoważne. Nie jest to nic dziwnego: prawie każde znane człowiekowi zjawisko ma wiele różnych współwystępujących ze sobą konsekwencji, ale nie znaczy to wcale, że konsekwencje te są równoważne nawet bez zajścia tego zjawiska. Przykład: jeżeli pada deszcz to jest mokro i są chmury, ale nawet jeżeli ((deszcz -> mokro) -> mokro) <-> ((deszcz -> chmury) -> chmury), to przecież wcale nie oznacza, że chmury <-> mokro. Powyższy przykład może (a nawet powinien, jeśliś dociekliwy) podsunąć ci pewną myśl: a co by było, gdybyśmy zamiast o danym zjawisku P, mówili o wszystkich jego konsekwencjach? Zdanie takie możemy zapisać jako forall C : Prop, (P -> C) -> C. Na pierwszy rzut oka widać, że jest to jakiś sposób na powiedzenie P, całkiem podobny do modalności pośredniej. Czy tutaj też mamy do czynienia z modalnością? Odpowiem bez owijania w bawełnę: tak, a modalność tę będziemy nazywać modalnością wszechpośrednią.

Ćwiczenie

Udowodnij, że modalność wszechpośrednia jest modalnością.

No dobra, dowody dowodami, ćwiczenia ćwiczeniami, ale o co tak naprawdę chodzi z tą modalnością wszechpośrednią? Jaki sposób wyraża? Skąd nazwa? Zacznijmy od nazwy: skoro P zapośredniczone przez jedną konsekwencję C (czyli (P -> C) -> C) czytaliśmy za pomocą przysłówka "pośrednio", to zapośredniczenie przez wszystkie konsekwencje możemy odczytać dodając przedrostek "wszech-". Do kupy daje nam to więc modalność "wszechpośrednią". (Raczy waszmość przyznać, iż polszczyzna jest językiem tak pięknym jak i giętkim, czyż nie?) Wracając do definicji: "wszechpośrednio P" to formalnie forall C : Prop, (P -> C) -> C. Jak rozumieć tę definicję? Zacznijmy od tego, że C jest dowolnym zdaniem. Dalsza część mówi, że jeżeli P implikuje C, to C. Oczywiście P -> C możemy odczytać także jako "C jest konsekwencją P", a zatem całą definicję możemy odczytać: zachodzi każda konsekwencja P. Zachodzi każda konsekwencja P... ciekawe, co? Zastanówmy się, w jakich sytuacjach mogą zachodzić wszystkie konsekwencje P:

• P zachodzi - najprostszy przypadek. Skoro P zachodzi, to jego konsekwencje też. Wszystkie. Bez wyjątku.
• zachodzi coś mocniejszego od P, tzn. zachodzi Q i Q -> P. Zachodzą wszystkie konsekwencje P i być może różne rzeczy, które konsekwencjami P nie są (bo są np. konsekwencjami Q)

Widzimy więc, że by zaszły wszystkie konsekwencje P, to zachodzić musi P (samo w sobie lub na mocy czegoś mocniejszego). Powinno to być dla ciebie oczywiste, bo to właśnie głosi prawo omnidirectly_law2. A jak z implikacją w drugą stronę? Jeżeli zachodzą wszystkie konsekwencje P, to co tak naprawdę wiemy na temat P? Okazuje się, że całkiem sporo, ale z innych powodów, niż mogłoby się na pierwszy rzut oka wydawać.

Ćwiczenie

Pokaż, że jeżeli zachodzą wszystkie konsekwencje P, to P też zachodzi. Wskazówka: każde zdanie wynika samo z siebie.

Jakiż wniosek płynie z ćwiczenia? Ano, ponieważ udało nam się pokazać zarówno P -> (forall C : Prop, (P -> C) -> C) (prawo omnidirectly_law2, wymagane przez definicję modalności) jak i (forall C : Prop, (P -> C) -> C) -> P (powyższe ćwiczenie), wniosek może być tylko jeden: modalność wszechpośrednia jest dokładnie tym samym, co modalność neutralna. Ha! Nie tego się spodziewałeś, co?

Strukturalizm matematyczny

Powoli zbliżamy się do końca tego podrozdziału, więc czas na morał. Po co nam była modalność wszechpośrednia? Mimo, że technicznie rzecz biorąc jest ona bezużyteczna w praktyce (wszakże jest tym samym, co modalność neutralna), to daje nam ona coś dużo ważniejszego: nową ideę, pozwalającą nam inaczej (co czasem oznacza "lepiej") patrzeć na świat. Ideą tą jest... hmmm, ma ona wiele nazw w różnych kontekstach. W naszym moglibyśmy nazwać ją "konsekwencjalizm", gdyż w tym przypadku mówi ona po prostu, że każde zdanie jest dokładnie tym samym, co wszystkie jego konsekwencje. Ta nazwa jest jednak rzadko spotykana, gdyż jest zarezerwowana dla różnych teorii etycznych. Inną nazwą na to samo jest ekstensjonalność, od łacińskiego słowa "extendere", które znaczy "rozciągać (się)". Ekstensja danej fizycznej rzeczy to miejsce, która zajmuje ona w przestrzeni, w kontraście do intensji, czyli po prostu jakiejś nazwy lub sposobu na nazwanie rzeczy. Użycie tych słów wobec pojęć czy ogólniej bytów abstrakcyjnych jest analogiczne. W naszym wypadku intensją zdania P jest sposób, w jaki zostało zdefiniowane zaś jego ekstensją są wszystkie zdania, które z niego wynikają. Przykład: zdania A /\ B, B /\ A oraz A /\ B /\ A /\ B to różne sposoby na zdefiniowanie zdania P (różne intensje), ale mają one takie same konsekwencje, czyli taką samą ekstensję. Jeszcze inną nazwą na to samo, z którą zapoznamy się w przyszłości, jest strukturalizm: w przypadku każdego obiektu matematycznego nie jest istotne, jak dokładnie został zdefiniowany, ale jaki jest jego związek z innymi obiektami i ten właśnie związek obiektu z innymi nazywamy jego "strukturą". W naszym przypadku obiekty to zdania, a związki obiektu z innymi obiektami są określane przez zachodzące (i niezachodzące) między nimi implikacje. Parafrazując: strukturą zdania są jego konsekwencje. Na koniec spróbujmy zastosować naszą nowo zdobytą ideę do filozofii religii. Amerykański myśliciel Mencjusz Moldbug zauważył (pewnie nie jako pierwszy, ale ja dowiedziałem się tego od niego) w swoim poście Dlaczego ateiści wierzą w religię?, że wiara i ogólniej poglądy religijne mają (przynajmniej z punktu widzenia ateisty) znaczenie jedynie pośrednie, wyrażające się w działaniach ludzi je wyznających w rzeczywistym świecie (świat bytów nadprzyrodzonych, jak bogowie, anioły, demony etc. uznał on za nieistotny). Można tego spostrzeżenia użyć na całe multum różnych sposobów. Dla przykładu, niektórzy zwolennicy ekumenizmu twierdzą, jakoby chrześcijanie i muzułmanie tak naprawdę wierzyli w tego samego Boga. Czy tak jest w istocie? Nie, bo ich wiara objawia się w diametralnie różny sposób: muzułmanie wysadzają się w powietrze w samobójczych zamachach, a chrześcijanie nie. Inne działania = inna wiara, a zatem inny Bóg. TODO: zastanowić się, czy te pierdoły o filozofii religii faktycznie są tutaj potrzebne. TODO 2: esencjalizm vs strukturalizm

Ćwiczenie

A co, gdyby tak skwantyfikować E : Prop i otrzymać w wyniku forall E : Prop, E \/ P? Zdanie to znaczy coś w stylu "P zachodzi albo i nie, wymówkę wybierz sobie sam". W sumie można by powstały tutaj twór nazwać modalnością wszechwymówkową... Udowodnij, że modalność wszechwymówkowa faktycznie jest modalnością.

Ćwiczenie

Udowodnij, że modalność wszechwymówkowa jest równoważna modalności neutralnej. Wskazówka: można wybrać wymówkę, która nijak nie może zachodzić.

Ćwiczenie

Zastanówmy się nad następującą konstrukcją: zdanie P wynika ze wszystkich możliwych aksjomatów. Czy taki twór jest modalnością? Sprawdź to! (Jeżeli jest, to będziemy tę modalność nazywać modalnością wszechaksjomatyczną).

Ćwiczenie

Skoro P wynika ze wszystkich aksjomatów, to wynika także z mało informatywnego aksjomatu True... czyli w sumie po prostu zachodzi, ot tak bez żadnych ceregieli. Udowodnij, że modalność wszechaksjomatyczna to tak naprawdę to samo, co modalność neutralna.

Dodatkowe prawa modalności

Związki między modalnościami

Przekonaliśmy się już, że dwie pozornie różne definicje mogą tak naprawdę definiować tę samą modalność, np. LEM -> P i DNE -> P to dwie definicje modalności klasycznej. Widzieliśmy też, że niektóre modalności są specjalnymi przypadkami innych (niezaprzeczalność jest specjalnym przypadkiem pośredniości, a modalność trywialna to modalność wymówkowa z bardzo ogólną i niesamowicie przekonującą wymówką). Czy to jednak wszystko, co potrafimy powiedzieć o modalnościach i ich wzajemnych związkach? Oczywiście nie. Wiemy przecież choćby, że P -> ~ ~ P. Można ten fakt zinterpretować następująco: modalność neutralna jest silniejsza niż modalność niezaprzeczalna, czyli równoważnie: modalność niezaprzeczalna jest słabsza niż modalność neutralna.

Ćwiczenie

Formalnie powiemy, że modalność M jest silniejsza niż modalność N, gdy forall P : Prop, M P -> N P. Zastanów się, jaki jest związek między modalnością niezaprzeczalną i modalnością klasyczną. Czy są one tym samym, czy czymś innym? Czy któraś z nich jest mocniejsza od drugiej?

Ćwiczenie

Najbanalniejsze i najnaturalniejsze pytanie, które powinno było przyjść ci do głowy po zapoznaniu się z faktem, że niektóre modalności mogą być "silniejsze" od innych, to: która modalność jest najsilniejsza (a która najsłabsza)? No, skoro już takie pytanie przyszło ci do głowy, to znajdź na nie odpowiedź! Uwaga: nie musisz formalnie dowodzić w Coqu, że masz rację. Prawdę powiedziawszy, gdybyśmy uparli się na pełną formalność, to nie umiemy jeszcze wyrazić odpowiednich twierdzeń. Wskazówka: sformułuj najpierw, co znaczą słowa "najsilniejszy" oraz "najsłabszy". Następnie przyjrzyj się definicji modalności oraz poszczególnym modalnościom i udowodnionym dotychczas przez nas twierdzeniom. Powinno cię to oświecić.

Ćwiczenie

Uwaga: to ćwiczenie jest mocno opcjonalne, przeznaczone dla tych bardziej dociekliwych. Skoro wiesz już (z poprzedniego ćwiczenia), która modalność jest najsilniejsza, a która najsłabsza, to najoczywistszym pytaniem, na które powinieneś wpaść, jest: które modalności są pomiędzy? Zrób tabelkę, której wiersze i kolumny indeksowane są modalnościami. Kratka w wierszu M i kolumnie N oznacza twierdzenie "modalność M jest silniejsza niż modalność N". Wypełnij tabelkę. W każdą kratkę wstaw:

• ptaszek, jeżeli twierdzenie zachodzi
• krzyżyk, gdy zachodzi jego negacja
• znak zapytania, jeżeli nie da się udowodnić żadnego z powyższych

Następnie narysuj obrazek, który obrazuje zależności z tabelki. Każdą modalność zaznacza jako kropkę z odpowiednią nazwą. Połącz kropki M i N, gdy modalność M jest silniejsza niż modalność N i nie ma między nimi żadnej modalności o pośredniej sile.

Składanie modalności

Skoro modalności mamy w małym palcu, to czas na... ale czekaj! Czy aby napewno wiemy o modalnościach już wszystko? I tak i nie. Wiemy wszystko co powinniśmy o modalnościach, które na nasze potrzeby nazwiemy "modalnościami prostymi" - nie będę tego pojęcia definiował. Czy znaczy to zatem, że są też jakieś inne modalności, zwane pewnie "złożonymi", o których jeszcze nic nie wiemy? Tutaj również odpowiedź brzmi "tak". O cóż więc chodzi z tymi złożonymi modalnościami? Otóż czasami (ale nie zawsze) możemy wziąć dwie modalności i złożyć je w jedną, uzyskując takie cudaczne twory jak na przykład modalność pośrednia z wymówką albo modalność wymówkowa z aksjomatem. Coby nie przynudzać, zobaczmy jak wygląda to w praktyce.

Ćwiczenie

Pokaż, że złożenie modalności klasycznej oraz modalności niezaprzeczalnej daje modalność.

Ćwiczenie

Pokaż, że złożenie modalności niezaprzeczalnej oraz modalności klasycznej daje modalność.

Twór z pierwszego ćwiczenia możemy nazwać modalnością klasycznie niezaprzeczalną, bo LEM -> ~ ~ P znaczy, że w logice klasycznej zdanie P jest niezaprzeczalne. Jak więc widać, złożenie modalności klasycznej i niezaprzeczalnej daje w efekcie modalność. Twór z drugiego ćwiczenia możemy nazwać modalnością niezaprzeczalnie klasyczną, bo ~ ~ (LEM -> P) znaczy, że jest niezaprzeczalnie, że P zachodzi w logice klasycznej. Jak więc widać, złożenie modalności niezaprzeczalnej i klasycznej daje w efekcie modalność. Twoje podejrzenia może (a nawet powinno) wzbudzić drugie z ćwiczeń. Czyż nie każe ci ono zrobić drugi raz tego samego, co poprzednie ćwiczenie? Otóż nie, a przynajmniej niekoniecznie: a priori wynik składania modalności zależy od kolejności, czyli złożenie modalności M i N nie musi być tym samym, co złożenie modalności N i M.

Ćwiczenie

Skoro tak, to powinno ci teraz przyjść do głowy pytanie: a jak jest w przypadku modalności niezaprzeczalnej i klasycznej? Czy złożenia w obu kolejnościach dają to samo, czy coś innego? Żeby trochę ułatwić ci życie, odpowiem za ciebie: oba złożenia dają tę samą modalność.

Ćwiczenie

Skoro oba złożenia dają tę samą modalność, to natychmiast powinno przyjść ci do głowy kolejne oczywiste pytanie: co to za modalność? Czy jest ona dla nas nowością, czy kiedyś już się z nią zetknęliśmy? Odpowiedzią na to pytanie jest niniejsza ćwiczenie: pokaż, że modalności niezaprzeczalnie klasyczna i klasycznie niezaprzeczalna to tak naprawdę dwa wcielenia modalności klasycznej.

Czas zakończyć niniejszy podrozdział, albowiem składanie modalności nie będzie dla nas zbyt istotną operacją. Dlaczego tak? Odpowiedź w zasadzie już poznaliśmy. Z naszego punktu widzenia jedynymi modalnościami przydatnymi w praktyce są modalność niezaprzeczalna i modalność klasyczna. Z poprzedniego podrozdziału wiemy, że modalność niezaprzeczalna jest silniejsza niż modalność klasyczna, co w efekcie prowadzi do tego, że oba ich złożenia dają modalność klasyczną. Słowem: złożenia jedynych ważnych dla nas modalności dają w wyniku modalność już nam znaną. Złożenia modalności mniej istotnych, jak modalność pośrednia czy modalność wymówkowa, również nie będą nas zbytno interesować.

Podsumowanie

W niniejszym (długaśnym, trzeba przyznać) rozdziale zapoznaliśmy się z modalnościami. Intuicyjnie zdanie modalne to takie, które jest wyrażone w jakiś niebanalny sposób, np. z użyciem podwójnej negacji, wymówki czy aksjomatu. Modalność to właśnie ten "sposób" wyrażania. Każda modalność spełnia parę warunków:

• jest kompatybilna z konsekwencjami danego zdania
• nie przeinacza znaczenia zdania, a jedynie je modyfikuje
• nie można "spamować" daną modalnością w celu uzyskania cudacznych zdań

Najbardziej istotne dla nas modalności to modalność niezaprzeczalna, która pozwala na bardzo subtelne poruszanie się na obrzeżach logiki klasycznej, oraz modalność klasyczna, pozwalająca elegancko zanurzyć logikę klasyczną w logice konstruktywnej. Poznaliśmy też modalność wszechpośrednią, która wyposażyła nas w ciekawą filozoficznie ideę: zdania logiczne są zdeterminowane przez to, co z nich wynika. Dowiedzieliśmy się też, że niektóre modalności wyrażają zdania w dużo bardziej dobitny (czyli silniejszy) sposób niż inne. Najsilniejszą modalnością jest ta domyślna, czyli neutralna. Najsłabsza zaś jest modalność trywialna, która nie wyraża w sumie niczego. Modalności można też ze sobą składać, żeby otrzymywać (potencjalnie) nowe, wyrażające jeszcze bardziej zagmatwane czy subtelne sposoby. Niestety okazało się też, że złożenia najistotniejszych z naszego punktu widzenia modalności nie wnoszą niczego ciekawego. Jeśliś pogubił się w tym modalnościowym zoo, nie lękaj się! Zrobiłem ściągę.